1. 数的概念的发展

数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在原始社会末期，由于计数的需要，人们就建立起自然数的概念。自然数的全体构成自然数集N。

随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们引进了零及负数，把自然数看作正整数，把正整数、零、负整数合并在一起，构成整数集Z。

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们又引进了有理数，规定它们就是一切形如m/n的数，其中m∈Z，n∈N。这样，就把整数集Z扩大为有理数集Q。显然，ZCQ。如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集。

每一个有理数都可以表示成整数、有限小数或循环节不为0循环小数；反过来，整数、有限小数或循环节不为0的循环小数也都是有理数。如果把整数、有限小数都看作循环节为0的循环小数，那么有理数集实际上也就是循环小数的集合。

为了解决有些量与量之间的比值(例如用正方形的边长去度量它的对角线所得结果)不能用有理数表示的矛盾，人们又引进了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集就是小数集。

从解方程来看，方程x+5=3在自然数集N中无解，在整数集Z中就有一个解x=-2；方程3x=5在整数集Z中无解，在有理数集Q中就有一个解x=5/3；方程x^2=2在有理数Q中无解，在实数集R中就有两个解x=±√2，但是，数的范围扩充到实数集R以后，像x^2=-1这样的方程还是无解，因为没有一个实数的平方等于-1.在十六世纪，由于解方程的需要，人们开始引进一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

⑴它的平方等于-1，即i^2=-1；
⑵实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。

在这种规定下，i可以与实数b相乘，再同实数a相加，由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi。这样，数的范围又扩充了，出现了形如a+bi(a，b∈R)的数，人们把它们叫做复数。全体复数所成的集合，一般用字母C来表示。

在这种规定下，i就是-1的平方根。因此，方程x^2=-1在复数集C中就至少有一个解x=i。

2. 复数的有关概念

⑴ a叫做复数的实部，b叫做虚部。
⑵ 当b=0时，复数就是实数；当b≠0时，叫做虚数；当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
⑶ 如果两个复数的实部与实部，虚部与虚部相等，那么这两个复数就相等。
⑷ 复数的模：|z|=|a+bi|=√a^2+b^2

3. 复数的四则运算

⑴ 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
⑵ 减法：(a+bi) - (c+di)  = (a-c) + (b-d)i
⑶ 乘法：(a+bi) * (c+di)  = (ac-bd) + (ad+bc)i
⑷ 除法：(a+bi) / (c+di)  = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = [(ac+bd) + (bc-ad)i]/(c^2+d^2)

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文章来自: 《代数》
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